これまで、解析学に関連する話題を指導してきています. 特にその中で私の研究分野でもある確率論とそれに関連する広い意味での関数解析学を指導しています. 今後もその方針です.
学部４年生では次のような書籍を読んできています.
- Varadhan, S. R. S. Probability theory. Courant Lecture Notes in Mathematics, 7. New York University, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York; American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. viii+167 pp. ISBN: 0-8218-2852-5.
- 佐藤担. はじめての確率論測度から確率へ, 共立出版 (1994).
- Rudin, Walter. Real and complex analysis. Third edition. McGraw-Hill Book Co., New York, 1987. xiv+416 pp. ISBN: 0-07-054234-1.
3は当時の学生が測度論(ルベーグ積分)未習なのでその理解のために1,2,3章を中心に読みました. この本はいわゆる解析学の定番の本で下手なことをするよりはこれを複数回読むのが一番いい気がしています.
1, 2は確率論の内容を大学院でも研究したい学生向けに読みました. 大学院で確率論を本格的にやることを考えると洋書をお勧めします。論文を読むときまでに英語アレルギーを減らしておく必要があると思っているからです.
1のVaradhanの本はそれなりに骨が折れます. 数学に親しんでいる期間が短い, 指導教員がいないなどで独習の場合などはもう少し易しいものが良いかと思います.
私は基本的には初学者には300ページを超える大型の本ではなく, ある程度通読できそうなものを勧めています. 長いと期待値の定義で飽きてしまう可能性があるからです. 一方網羅性がある（ちゃんと書かれている）分厚い本ほうがちゃんと細かい部分まで詰めれてよいという利点が当然あります. したがって時間に余裕があったり根性のある人はその手のものに手をだしてみてください.
それぞれのやり方には一長一短あるので性格やスケジュールに合わせてよく考えてみてください。少なくとも１冊はそれなりに内容のある分厚い入門書も持っていた方が無難かとは思います. なおこれ以上参考図書をあげないのは自分で図書館で本を開いてみてほしいからです. ネットのオススメを参考にAmazonで買うのではなく, 図書館で手あたり次第に本を手に取ったり指導教員とお話しして貴重な時間を何に費やすか判断してほしいと思います.
最後に佐久間のところに来ていただける学生さんには3の3章までは繰り返し読んでよく勉強してきてほしいです.
修士(現在名市大2名, 大阪大学1名)とは次ような書籍を読んでいます. また外部から佐久間の研究室を希望する場合上記の1または2と3の11章くらいまでの内容がわかっていると下記に挙げるような書籍の勉強を開始する準備になるかと思います.
a. 清水泰隆. 保険数理と統計的方法 (理論統計学教程:従属性の統計理論), 共立出版, 2018 .
# この本は保険数理に興味のある学生さんと読んでいます.
b. 小谷元子. 離散幾何解析入門, 岩波書店, (2024).
# この本はとある理由でフラーレンに興味をもち付き合ってくれる学生と読んでいます.
c. Potters, Marc and Bouchaud, Jean-Philippe. A First Course in Random Matrix Theory: for Physicists, Engineers and Data Scientists, Cambridge University Press, (2020).
# この本は自分の研究分野についてきてくれる学生と読んでいます.
今後の修士の学生については佐久間の興味との兼ね合いもあり, 主として自由確率論, ランダム行列, 無限分解可能分布に関連する研究に従事してもらいたいです. 代表的テキストとして次を挙げておきます. iiiについては特に無限分解可能分布に関する部分に興味があります.
i. Nica, Alexandru; Speicher, Roland. Lectures on the combinatorics of free probability. London Mathematical Society Lecture Note Series, 335. Cambridge University Press, Cambridge, 2006. xvi+417 pp. ISBN: 978-0-521-85852-6; 0-521-85852-6
ii. Mingo, James A.; Speicher, Roland. Free probability and random matrices. Fields Institute Monographs, 35. Springer, New York; Fields Institute for Research in Mathematical Sciences, Toronto, ON, 2017. xiv+336 pp. ISBN: 978-1-4939-6941-8; 978-1-4939-6942-5
iii. Sato, Ken-iti. Lévy processes and infinitely divisible distributions. Translated from the 1990 Japanese original. Revised by the author. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 68. Cambridge University Press, Cambridge, 1999. xii+486 pp. ISBN: 0-521-55302-4